Question

【题目】椭圆C:(a>b>0)的左、右焦点分别为，离心率为，过焦点且垂直于x轴的直线被椭圆C截得的线段长为1．

（Ⅰ）求椭圆C的方程；

（Ⅱ）已知点M（0，-1），直线l经过点N（2，1）且与椭圆C相交于A,B两点（异于点M），记直线MA的斜率为，直线MB的斜率为，证明 为定值，并求出该定值.

Answer 1

【答案】(Ⅰ) (Ⅱ)见证明

【解析】

(Ⅰ)根据已知得到关于a,b,c的方程组，解方程组即得椭圆的标准方程；(Ⅱ)先考虑直线l的斜率不存在的情况，再考虑斜率存在的情况，直线l的方程与椭圆的标准方程联立得到韦达定理，再求出，化简即得其为定值.

（Ⅰ）将代入中，由可得，

所以弦长为，

故有，解得，

所以椭圆的方程为：．

（Ⅱ）若直线l的斜率不存在，即直线的方程为x=2，与椭圆只有一个交点，不符合题意。

设直线l的斜率为k，若k=0，直线l与椭圆只有一个交点，不符合题意，故k≠0.

所以直线l的方程为，即， 直线l的方程与椭圆的标准方程联立得：

消去y得:,

设，则，

,

把代入上式，得

，命题得证.