Question

如图，三棱锥P-ABC中，PB⊥底面ABC，∠BCA=90°，PB=BC=CA=2，E为PC的中点，M为AB的中点，点F在PA上，且2PF=FA．
（1）求证：BE⊥平面PAC；
（2）求证：CM∥平面BEF；
（3）求平面ABC与平面BEF所成的二面角的平面角（锐角）的余弦值．

Answer 1

分析：（1）利用等腰三角形的性质可得BE⊥PC．再利用线面垂直的判定和性质即可证明BE⊥平面PAC；
（2）取AF得中点Q，连接CQ，MQ．利用已知及三角形的中位线定理可得EF∥CQ，BF∥MQ，即可得到面面平行：平面BEF∥平面CMQ，进而得到线面平行；
（3）通过建立空间直角坐标系，利用两个平面的法向量即可得出．

解答：证明：（1）∵BP=BC，EP=EC，∴BE⊥PC．
∵PB⊥底面ABC，∴PB⊥AC，
又AC⊥BC，PB∩BC=B，∴AC⊥平面PBC，
∴AC⊥BE．
又PC∩AC=C，∴BE⊥平面PAC．
（2）取AF得中点Q，连接CQ，MQ．
∵2PF=FA，∴点F为PQ的中点，
由三角形的中位线定理可得EF∥CQ，BF∥MQ，
又CQ∩MQ=Q，∴平面BEF∥平面CMQ，
∴CM∥平面BEF．
（3）建立如图所示的空间直角坐标系，
则B（0，0，0），P（0，0，2），C（2，0，0），A（2，2，0），E（1，0，1），F(

2

3

，

2

3

，

4

3

)．

BE

=(1，0，1)，

BF

=(

2

3

，

2

3

，

4

3

)．
设平面BEF的法向量为

n

=（x，y，z），则

n • BE =x+z=0 n • BF = 2 3 x+ 2 3 y+ 4 3 z=0

，令x=1，则z=-1，y=1．
∴

n

=（1，1，-1）．取平面ABC的法向量

m

=(0，0，1)．
则cos＜

m

，

n

＞=

m • n

| m | | n |

=

-1

3

=-

3

3

．
∴平面ABC与平面BEF所成的二面角的平面角（锐角）的余弦值为

3

3

．

点评：本题综合考查了线面平行与垂直、面面平行的判定与性质定理、通过建立空间直角坐标系利用法向量得出二面角的方法、三角形的中位线定理等基础知识与基本技能，考查了空间想象能力、推理能力和计算能力．