Question

8．在△ABC中，角A、B、C所对的边分别为a、b、c，且满足cos2C-cos2A=2sin（$\frac{π}{3}$+C）•sin（$\frac{π}{3}$-C）．
（1）求角A的值；
（2）若a=$\sqrt{3}$且b≥a，求2b-c的取值范围．

Answer 1

分析 （1）利用三角函数恒等变换的应用化简已知可解得：cos2A=-$\frac{1}{2}$，结合2A∈（0，2π），可得A的值．
（2）由b≥a，由（1）可得：A=$\frac{π}{3}$，又a=$\sqrt{3}$，由正弦定理可得：$\frac{b}{sinB}=\frac{c}{sinC}$=2，从而利用三角函数恒等变换的应用可得2b-c=2$\sqrt{3}$sin（B-$\frac{π}{6}$），结合范围B-$\frac{π}{6}$∈[$\frac{π}{6}$，$\frac{π}{2}$），可得2b-c取值范围．

解答 解：（1）∵cos2C-cos2A=2sin（$\frac{π}{3}$+C）•sin（$\frac{π}{3}$-C）
=2（$\frac{\sqrt{3}}{2}$cosC+$\frac{1}{2}$sinC）（$\frac{\sqrt{3}}{2}$cosC-$\frac{1}{2}$sinC）
=$\frac{3}{2}$cos²C-$\frac{1}{2}$sin²C
=$\frac{3}{2}$•$\frac{1+cos2C}{2}$-$\frac{1}{2}$•$\frac{1-cos2C}{2}$
=$\frac{1}{2}$+cos2C，
∴-cos2A=$\frac{1}{2}$，解得：cos2A=-$\frac{1}{2}$．
∵A∈（0，π），2A∈（0，2π），
∴当2A=$\frac{2π}{3}$时，解得：A=$\frac{π}{3}$，
当2A=$\frac{4π}{3}$时，解得：A=$\frac{2π}{3}$．
（2）∵b≥a，∴A为锐角，由（1）可得：A=$\frac{π}{3}$，
又∵a=$\sqrt{3}$，
∴由正弦定理可得：$\frac{\sqrt{3}}{sin\frac{π}{3}}$=$\frac{b}{sinB}=\frac{c}{sinC}$=2，
∴2b-c=2（2sinB-sinC）=4sinB-2sin（$\frac{2π}{3}$-B）=4sinB-（$\sqrt{3}$cosB+sinB）=3sinB-$\sqrt{3}$cosB=2$\sqrt{3}$sin（B-$\frac{π}{6}$），
∵B∈[$\frac{π}{3}$，$\frac{2π}{3}$），B-$\frac{π}{6}$∈[$\frac{π}{6}$，$\frac{π}{2}$），可得sin（B-$\frac{π}{6}$）∈[$\frac{1}{2}$，1），
∴2b-c=2$\sqrt{3}$sin（B-$\frac{π}{6}$）∈[$\sqrt{3}$，2$\sqrt{3}$）．

点评 本题主要考查了三角函数恒等变换的应用，考查了正弦定理，正弦函数的图象和性质在解三角形中的应用，属于中档题．