Question

20．已知a，b，c分别是△ABC内角A，B，C的对边，且S=a²-（b-c）²，其中S为△ABC的面积．
（1）求sinA；
（2）若b+c=6，求△ABC的面积的最大值．

Answer 1

分析 （1）结合已知中S=a²-（b-c）²和余弦定理得：sinA=4-4cosA，又由sin²A+cos²A=1，消去余弦，解得sinA；
（2）由b+c=6，结合三角形面积公式和基本不等式，可得△ABC的面积的最大值．

解答 解：（1）∵S=a²-（b-c）²=a²-b²-c²+2bc=$\frac{1}{2}$bcsinA：
又由余弦定理得：a²-b²-c²=-2bccosA，
∴-2bccosA+2bc=$\frac{1}{2}$bcsinA，
即sinA=4-4cosA，
又由sin²A+cos²A=1，
∴sin²A+（1-$\frac{1}{4}$sinA）²=1，
解得：sinA=$\frac{8}{17}$，或sinA=0（舍去）；
（2）∵b+c=6，
∴S=$\frac{1}{2}$bcsinA=$\frac{4}{17}$bc≤$\frac{4}{17}$（$\frac{b+c}{2}$）²=$\frac{36}{17}$，
当且令当b=c=3时取等号，
即△ABC的面积的最大值为$\frac{36}{17}$．

点评 本题考查的知识点是三角形面积公式，余弦定理，基本不等式，是基本不等式与解三角形的综合应用，难度中档．