Question

5．双曲线$\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{4}$=1的一个顶点到一条渐近线的距离为$\sqrt{2}$，则该双曲线的离心率为$\sqrt{2}$．

Answer 1

分析 求得双曲线的顶点和一条渐近线方程，运用点到直线的距离公式，求得a=b=2，进而得到双曲线的离心率．

解答 解：设a＞0，则双曲线$\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{4}$=1的一个顶点为（a，0），
一条渐近线方程为y=$\frac{2}{a}$x，即为2x-ay=0，
由一个顶点到一条渐近线的距离为$\sqrt{2}$，
可得$\frac{2a}{\sqrt{4+{a}^{2}}}$=$\sqrt{2}$，
解得a=2，
即有c=2$\sqrt{2}$，
e=$\frac{c}{a}$=$\sqrt{2}$．
故答案为：$\sqrt{2}$．

点评 本题考查双曲线的方程和性质，主要考查渐近线方程和离心率的求法，属于中档题．