Question

设复数z=（a+cosθ）+（2a-sinθ）i（i为虚数单位），若对任意实数θ，|z|≤2，则实数a的取值范围为______．

Answer 1

由z=（a+cosθ）+（2a-sinθ）i，
所以|z|=

(a+cosθ)2+(2a-sinθ)2

=

(2acosθ-4asinθ)+5a2+1

=

2 5 a( 5 5 cosθ- 2 5 5 sinθ)+5a2+1

=

2 5 acos(θ+α)+5a2+1

（tanα=2）．
因为|z|≤2，
所以2

5

acos(θ+α)+5a2+1≤4．
若a=0，此式显然成立，
若a＞0，由2

5

acos(θ+α)+5a2+1≤4，
得5a2+2

5

a-3≤0，解得0＜a≤

5

5

．
若a＜0，由2

5

acos(θ+α)+5a2+1≤4，
得5a2-2

5

a-3≤0，解得-

5

5

≤a＜0．
所以对任意实数θ，满足|z|≤2的实数a的取值范围为[-

5

5

，

5

5

]．
故答案为[-

5

5

，

5

5

]．