Question

【题目】如图，已知圆内接四边形ABCD中，AB=3,AD=2,∠BCD=1200．

(1)求线段BD的长与圆的面积．

(2)求四边形ABCD的周长的最大值．

Answer 1

【答案】（1），圆的面积为；（2）．

【解析】

(1)由题意结合圆的内接四边形的性质求得各角的角度值，然后在中应用余弦定理求得BD的值，最后结合正弦定理确定圆的半径即可求解圆的面积；

(2)解法一：设∠CBD=θ，那么00<θ<600，结合正弦定理得到周长关于的函数解析式，利用三角函数的性质确定周长的最大值即可；

解法二：设，，在中应用余弦定理得和均值不等式到x+y的范围，最后确定周长的范围即可，注意等号成立的条件.

(1)由于四边形ABCD为圆内接四边形，所以∠BCD+∠BAD=1800，

由题设知∠BCD=1200，所以∠BAD=600，

在中由余弦定理得，

．

．

由正弦定理得，

，

．

(2)解法一：设∠CBD=θ，那么00<θ<600，

在中有正弦定理得，

，，

四边形ABCD的周长=5+ =，

由于00<θ<600，所以600<θ+600<1200，

所以θ+600=900，即所以θ=300时，四边形ABCD的周长取得最大值．

解法二：设，，在中由余弦定理得，

，

，

，

．

．

四边形ABCD的周长，当且仅当时上式取等号，

四边形ABCD的周长最大值为．