【题目】设函数f(x)= ,若方程f(f(x))=a(a>0)恰有两个不相等的实根x1 , x2 , 则e
e
的最大值为( )
A.
B.2(ln2﹣1)
C.
D.ln2﹣1
【答案】C
【解析】解:令g(x)=f(f(x))= , ∵y=f(x)在(﹣∞,0)上单调递减,在[0,+∞)上单调递增,
∴g(x)=f(f(x))在(﹣∞,0)上单调递减,在[0,+∞)上单调递增.
做出g(x)=f(f(x))的函数图象如图所示:
∵方程f(f(x))=a(a>0)恰有两个不相等的实根x1 , x2 ,
不妨设x1<x2 , 则x1≤﹣1,x2≥0,且f(x1)=f(x2),即x12=e .
∴e e
=e
x12 ,
令h(x1)=e x12 , 则h′(x1)=e
(x12+2x1)=e
x1(x1+2),
∴当x1<﹣2时,h′(x1)>0,当﹣2<x1<﹣1时,h′(x1)<0,
∴h(x1)在(﹣∞,﹣2)上单调递增,在(﹣2,﹣1)上单调递减,
∴当x1=﹣2时,h(x1)取得最大值h(﹣2)= .
故选C.
求出f(f(x))的解析式,根据f(f(x))的函数图象判断x1 , x2的范围和两根的关系,构造函数h(x1)=e e
,求出h(x1)的最大值即可.
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【题目】已知直线l与抛物线交于点A,B两点,与x轴交于点M,直线OA,OB的斜率之积为
.
(1)证明:直线AB过定点;
(2)以AB为直径的圆P交x轴于E,F两点,O为坐标原点,求|OE||OF|的值.
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【题目】如图,已知圆内接四边形ABCD中,AB=3,AD=2,∠BCD=1200.
(1)求线段BD的长与圆的面积.
(2)求四边形ABCD的周长的最大值.
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【题目】函数f(x)=sin(ωx+ )(ω>0)的图象与x轴的交点横坐标构成一个公差为
的等差数列,要得到g(x)=cos(ωx+
)的图象,可将f(x)的图象( )
A.向右平移 个单位
B.向左平移 个单位
C.向左平移 个单位
D.向右平移 个单位
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【题目】我国古代数学名著《算法统宗》中有如下问题:“远望巍巍塔七层,红光点点倍加增,共灯三百八十一,请问尖头几盏灯?”意思是:一座7层塔共挂了381盏灯,且相邻两层中的下一层灯数是上一层灯数的2倍,则塔的顶层共有灯( )
A. 1盏 B. 3盏 C. 5盏 D. 9盏
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【题目】已知分别是双曲线E:
的左、右焦点,P是双曲线上一点,
到左顶点的距离等于它到渐近线距离的2倍,(1)求双曲线的渐近线方程;(2)当
时,
的面积为
,求此双曲线的方程。
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【题目】已知函数(k
R),且满足f(﹣1)=f(1).
(1)求k的值;
(2)若函数y=f(x)的图象与直线没有交点,求a的取值范围;
(3)若函数,x
[0,log23],是否存在实数m使得h(x)最小值为0,若存在,求出m的值;若不存在,请说明理由.
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