Question

【题目】[选修4-5：不等式选讲]
已知函数f（x）=|x﹣ |+|x+2a|（a∈R，且a≠0）
（Ⅰ）当a=﹣1时，求不等式f（x）≥5的解集；
（Ⅱ）证明：f（x）≥2 ．

Answer 1

【答案】（Ⅰ）解：a=﹣1时，f（x）=|x+1|+|x﹣2|≥5， x≥2时，x+1+x﹣2≥5，解得：x≥3，
﹣1＜x＜2时，x+1+2﹣x≥5，无解，
x≤﹣1时，﹣x﹣1﹣x+2≥5，解得：x≤﹣2，
故不等式的解集是{x|x≥3或x≤﹣2}．
（Ⅱ）证明：f（x）=|x﹣ |+|x+2a|≥|x+2a+ ﹣x|=|2a|+| |≥2 ，
当且仅当|2a|=| |，即a= 时”=“成立．
【解析】（Ⅰ）当a=﹣1时，通过讨论x的范围求出不等式的解集即可；（Ⅱ）根据绝对值的性质以及基本不等式的性质证明即可．
【考点精析】关于本题考查的绝对值不等式的解法，需要了解含绝对值不等式的解法：定义法、平方法、同解变形法，其同解定理有；规律：关键是去掉绝对值的符号才能得出正确答案．