Question

（本小题满分13分）如图，焦点在x轴的椭圆C：（b > 0），点G（2，0），点P在椭圆上，且PG⊥x轴，连接OP交直线x = 4于点M，连接MG交椭圆于A、B.

（Ⅰ）若G为椭圆右焦点，求|OM|；

（Ⅱ）记直线PA，PB的斜率分别为，，求的取值范围.

Answer 1

（Ⅰ） （Ⅱ）

【解析】

试题分析：（Ⅰ）因为点是椭圆的右焦点，所以可得，所以，求出点坐标，由距离公式求之即可. （Ⅱ）由四点共线可得，设出直线的方程，与椭圆方程联立，由韦达定理求出，可求范围.

试题解析：解：不妨设P在x轴上方，因为椭圆C的方程为，令x=2，则，

所以点P的坐标为，

根据题意可得P为线段OM的中点，所以M的坐标为.

（Ⅰ）若G为椭圆右焦点，则，

所以 5分

（Ⅱ）因为直线AB过点M、G，所以AB的斜率为，

则直线AB的方程为 ① 7分

代入椭圆方程并整理得： . 8分

设，，则由韦达定理有

， ②

所以，.

因为直线AB的方程为，所以 ，

所以 ③ 12分

因为，，所以 ，

所以，的取值范围是 13分

考点：椭圆的几何性质、直线与圆锥曲线的位置关系.