Question

【题目】已知抛物线G：x2=2py（p＞0），直线y=k（x﹣1）+2与抛物线G相交A（x1 ， y1），B（x2 ， y2）（x1＜x2），过A，B点分别作抛物线G的切线L1 ， L2 ， 两切线L1 ， L2相交H（x，y），
（1）若k=1，有 L1⊥L2 ， 求抛物线G的方程；
（2）若p=2，△ABH的面积为S1 ， 直线AB与抛物线G围成封闭图形的面积为S2 ， 证明： 为定值．

Answer 1

【答案】
（1）

解：x2=2py（p＞0），即y= ，

导数为y′= ，切线L1，L2的斜率分别为 ， ，

L1⊥L2，可得 =﹣1，

联立直线y=x+1和x2=2py（p＞0），

可得x2﹣2px﹣2p=0，即有x1x2=﹣2p，

即有﹣p2=﹣2p，解得p=2，

则抛物线G的方程为x2=4y；

（2）

解：证明：将直线y=k（x﹣1）+2代入抛物线方程x2=4y，

可得x2﹣4kx+4k﹣8=0，

即有x1+x2=4k，x1x2=4k﹣8，

x1＜x2，可得x2﹣x1= = =4 ．

抛物线的方程为y= x2，求导得y′= x，

过抛物线上A、B两点的切线方程分别是y﹣y1= x1（x﹣x1），y﹣y2= x2（x﹣x2），

即y= x1x﹣ x12，y= x2x﹣ x22，

解得两条切线l1、l2的交点H的坐标为（ ， ），即H（2k，k﹣2）．

可得H到直线y=k（x﹣1）+2的距离为d= = ，

|AB|= |x2﹣x1|=4 ．

可得△ABH的面积为S1= d|AB|= 4

=4（k2﹣k+2） ．

直线AB与抛物线G围成封闭图形的面积为S2= [k（x﹣1）+2﹣ x2]dx

=[ kx2+（2﹣k）x﹣ x3]| = k（x2﹣x1）（x2+x1）+（2﹣k）（x2﹣x1）﹣ （x2﹣x1）[（x2+x1）2﹣x1x2]

=（x2﹣x1）[2k2+2﹣k﹣ （16k2﹣4k+8）]=4 （k2﹣k+2）= （k2﹣k+2） ．

则 为定值

【解析】（1）求出函数y= 的导数，可得切线的斜率，由两直线垂直的条件：斜率之积为﹣1，再将直线y=x+1代入抛物线方程，运用韦达定理，解方程可得p的值，进而得到抛物线的方程；（2）将直线y=k（x﹣1）+2代入抛物线方程x2=4y，运用韦达定理和弦长公式，求得|AB|，再由切线的方程求出交点H的坐标，运用点到直线的距离公式，结合三角形的面积公式可得S1， 再由直线AB与抛物线G围成封闭图形的面积为S2= [k（x﹣1）+2﹣ x2]dx，化简计算即可得到面积的比值为定值．