Question

13．已知数列{a_n}的前n项和为S_n，a₁=1，a_n≠0，且S_n=$\frac{1}{2}$a_na_n+1（n∈N⁺），求{a_n}的通项公式．

Answer 1

分析 S_n=$\frac{1}{2}$a_na_n+1，当n=1时，${a}_{1}=\frac{1}{2}{a}_{1}{a}_{2}$，解得a₂．当n≥2时，可得：a_n+1-a_n-1=2．可得数列{a_2k-1}，{a_2k}（k∈N^*），都是等差数列，公差为2，首项分别为1，2．
利用等差数列的通项公式即可得出．

解答 解：∵S_n=$\frac{1}{2}$a_na_n+1，∴当n=1时，${a}_{1}=\frac{1}{2}{a}_{1}{a}_{2}$，解得a₂=2．
当n≥2时，${S}_{n-1}=\frac{1}{2}{a}_{n-1}{a}_{n}$，${a}_{n}=\frac{1}{2}{a}_{n}（{a}_{n+1}-{a}_{n-1}）$，
∵a_n≠0，
∴a_n+1-a_n-1=2．
∴数列{a_2k-1}，{a_2k}（k∈N^*），都是等差数列，公差为2，首项分别为1，2．
∴a_2k-1=1+2（k-1）=2k-1，
a_2k=2+2（k-1）=2k．
∴a_n=n．

点评 本题考查了递推式的应用、等差数列的通项公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．