Question

1．如图，抛物线C₁：y²=2px与椭圆C₂：$\frac{x^2}{16}+\frac{y^2}{12}=1$在第一象限的交点为B，O为坐标原点，A为椭圆的右顶点，△OAB的面积为$\frac{{8\sqrt{6}}}{3}$．
（Ⅰ）求抛物线C₁的方程；
（Ⅱ）过A点作直线l交C₁于C、D两点，求△OCD面积的最小值．

Answer 1

分析 （Ⅰ）通过△OAB的面积为$\frac{{8\sqrt{6}}}{3}$，求出$B（\frac{4}{3}，\frac{{4\sqrt{6}}}{3}）$，然后求出抛物线的方程．
（Ⅱ） 直线CD斜率不存在时，求出三角形的面积；直线CD斜率存在时，设直线CD方程为y=k（x-4），与抛物线联立，然后求出三角形的面积，推出S_△OCD最小值．

解答 解：（Ⅰ）因为△OAB的面积为$\frac{{8\sqrt{6}}}{3}$，所以${y_B}=\frac{{4\sqrt{6}}}{3}$，…（2分）
代入椭圆方程得$B（\frac{4}{3}，\frac{{4\sqrt{6}}}{3}）$，
抛物线的方程是：y²=8x…（6分）
（Ⅱ） 直线CD斜率不存在时，${S_{△OCD}}=16\sqrt{2}$；
直线CD斜率存在时，设直线CD方程为y=k（x-4），代入抛物线，得ky²-8y-32k=0，y₁+y₂=$\frac{8}{k}$，y₁•y₂=32，
${S_{△OCD}}=\frac{1}{2}OA|{{y_1}-{y_2}}|=16\sqrt{2+\frac{1}{k^2}}＞16\sqrt{2}$，
综上S_△OCD最小值为$16\sqrt{2}$．…（12分）

点评 本题考查抛物线方程的求法，直线与圆锥曲线的综合应用，考查分析问题解决问题的能力．