Question

8．过椭圆$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}$=1（a＞b＞0）的左顶点A作斜率为2的直线，与椭圆的另一个交点为B，与y轴的交点为C，已知|AB|=$\frac{6}{13}$|BC|．
（1）求椭圆的离心率；
（2）设动直线y=kx+m与椭圆有且只有一个公共点P，且与直线x=4相交于点Q，若x轴上存在一定点M（1，0），使得PM⊥QM，求椭圆的方程．

Answer 1

分析 （1）利用|AB|=$\frac{6}{13}$|BC|．设直线AB：y=2（x+a），A（-a，0），C（0，2a），求出$B（-\frac{13}{19}a，\frac{12}{19}a）$带入椭圆方程，求解离心率．
（2）设椭圆方程为$\frac{x^2}{{4{c^2}}}+\frac{y^2}{{3{c^2}}}=1$，联立y=kx+m，利用y=kx+m与椭圆有且只有一个公共点，△=0，通过PM⊥QM数量积为0，得到方程．求解可得椭圆方程．

解答 解：（1）由|AB|=$\frac{6}{13}$|BC|．知$\overrightarrow{AB}=\frac{6}{13}\overrightarrow{BC}$，设直线AB：y=2（x+a），A（-a，0），C（0，2a）
所以$B（-\frac{13}{19}a，\frac{12}{19}a）$带入$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1$得，3a²=4b²，所以$e=\frac{1}{2}$…（5分）
（2）由（1）设椭圆方程为$\frac{x^2}{{4{c^2}}}+\frac{y^2}{{3{c^2}}}=1$，联立y=kx+m和椭圆得（3+4k²）x²+8kmx+4m²-12c²=0，由y=kx+m与椭圆有且只有一个公共点P知△=64k²m²-4（3+4k²）（4m²-12c²）=0得m²=c²（3+4k²），（1）…（8分）$P（\frac{-4km}{{3+4{k^2}}}，\frac{3m}{{3+4{k^2}}}）$，Q（4，4k+m），…（9分）
由PM⊥QM得$（1+\frac{4km}{{3+4{k^2}}}，-\frac{3m}{{3+4{k^2}}}）•（-3，-4k-m）=0$
即m²=（3+4k²），（2）…（10分）
由（1），（2）得c²=1所以椭圆方程为   $\frac{x^2}{4}+\frac{y^2}{3}=1$…（12分）

点评 本题考查椭圆的方程的求法，直线与椭圆的位置关系的综合应用，考查计算能力．