Question

18．用反证法证明：设x，y，z均大于0，a=x+$\frac{1}{y}$，b=y+$\frac{1}{z}$，c=z+$\frac{1}{x}$，证明：a，b，c三数中至少有一个不小于2．

Answer 1

分析 假设a，b，c三数都小于2，则x+$\frac{1}{y}$+y+$\frac{1}{z}$+z+$\frac{1}{x}$＜6，再结合基本不等式，引出矛盾，即可得出结论

解答 证明：假设a，b，c三数都小于2，则x+$\frac{1}{y}$+y+$\frac{1}{z}$+z+$\frac{1}{x}$＜6．
∵x，y，z均大于0，
∴x+$\frac{1}{y}$+y+$\frac{1}{z}$+z+$\frac{1}{x}$=x+$\frac{1}{x}$+$\frac{1}{y}$+y+$\frac{1}{z}$+z≥2+2+2=6，矛盾．
∴a，b，c三数中至少有一个不小于2．

点评 用反证法证明数学命题的方法和步骤，把要证的结论进行否定，得到要证的结论的反面，是解题的突破口，属于中档题．