Question

13．已知函数f（x）=$\frac{e^x}{x}$的定义域为（0，+∞）．
（Ⅰ）求函数f（x）在[m，m+1]（m＞0）上的最小值；
（Ⅱ）对任意x∈（0，+∞），不等式xf（x）＞-x²+λx-1恒成立，求实数λ的取值范围．

Answer 1

分析 求出函数的对数$f'（x）=\frac{{x{e^x}-{e^x}}}{x^2}$，求出函数的单调区间，
（I）当m≥1时，当0＜m＜1时，求出函数的最小值f（x）_min．
（II）对?x∈（0，+∞），不等式e^x+x²+1＞λx恒成立，转化为λ的表达式，通过构造函数的导数求解最值，推出所求范围．

解答 （本小题满分13分）
解：$f'（x）=\frac{{x{e^x}-{e^x}}}{x^2}$，
令f'（x）＞0得x＞1，令f'（x）＜0得x＜1，
所以，函数f（x）在（0，1）上是减函数，在（1，+∞）上是增函数，
（I）当m≥1时，函数f（x）在[m，m+1]（m＞0）上是增函数．
所以$f{（x）_{min}}=f（m）=\frac{e^m}{m}$，
所以$f{（x）_{min}}=f（m）=\frac{e^m}{m}$，
当0＜m＜1时，函数f（x）在[m，1]上是减函数，在[1，m+1]上是增函数，
所以，f（x）_min=f（1）=e，
（II）由题意，对?x∈（0，+∞），不等式e^x+x²+1＞λx恒成立，
即$\frac{e^x}{x}+x+\frac{1}{x}＞λ$恒成立．
令$g（x）=\frac{e^x}{x}+x+\frac{1}{x}$则$g'（x）=\frac{{（{{e^x}+x+1}）（{x-1}）}}{x^2}$，
由g'（x）＞0得x＞1，由g'（x）＜0得x＜1，
所以g（x）_min=g（1）=e+2，
所以λ＜e+2．

点评 本题考查函数的导数的综合应用，闭区间的最值的求法，构造法的应用，考查转化思想以及计算能力．