Question

3．已知空间中一点O，过点O的三条射线不共面，互不相同的点A₁，A₂，…，A_n，…和B₁，B₂，…，B_n，…以及C₁，C₂，…，C_n，…分别在这三条射线上，并满足所有平面A_iB_iC_i（i=1，2，…，n，…）均相互平行，且所有几何体A_nB_nC_n-A_n+1B_n+1C_n+1（n∈N^*）的体积均相等，设OA_n=a_n，若a₁=1，a₂=2，则数列{a_n³}的前n项和S_n=$\frac{7}{2}{n}^{2}-\frac{5}{2}n$．

Answer 1

分析 本题是填空题，可以采取特殊法解答，不妨令OA₁⊥平面A_nB_nC_n，并且A_nB_n⊥A_nC_n，然后求解几何体的体积，推出通项公式a_n³即可．

解答 解：不妨令OA₁⊥平面A_nB_nC_n，并且A_nB_n⊥A_nC_n，OA_n=A_nB_n=A_nC_n，
∵OA_n=a_n，若a₁=1，a₂=2．∴VO-A1B1C1=$\frac{1}{3}×\frac{1}{2}×1×1×1$=$\frac{1}{6}$．
∴VA2B2C2-A1B1C1=$\frac{1}{3}×\frac{1}{2}×2×2×2$-$\frac{1}{3}×\frac{1}{2}×1×1×1$=$\frac{7}{6}$，
${V}_{O-{A}_{n}{B}_{n}{C}_{n}}$=$\frac{1}{6}$+（n-1）$\frac{7}{6}$=$\frac{7n-6}{6}$．
又${V}_{O-{A}_{n}{B}_{n}{C}_{n}}$=$\frac{1}{3}×\frac{1}{2}×{{a}_{n}}^{3}$，
∴$\frac{1}{3}×\frac{1}{2}×{{a}_{n}}^{3}$=$\frac{7n-6}{6}$，解得：a_n³=7n-6．
所以S_n=7×$\frac{n（n+1）}{2}-6n$=$\frac{7{n}^{2}-5n}{2}$，
故答案为：$\frac{7}{2}{n}^{2}-\frac{5}{2}n$．

点评 本题考查特殊值法求解几何体的体积，棱长的求法，如果利用一般法求解，难度比较大，考查了推理能力和计算能力．