Question

14．已知圆C：x²+y²-2x-2ay+a²-24=0（a∈R）的圆心在直线2x-y=0上．
（1）求实数a的值；
（2）求圆C与直线l：（2m+1）x+（m+1）y-7m-4=0（m∈R）相交弦长的最小值．

Answer 1

分析 （1）化简圆的方程，求出圆的圆心坐标，代入直线方程，即可求实数a的值；
（2）求出直线系（2m+1）x+（m+1）y-7m-4=0（m∈R）经过的定点，利用圆心距，半径半弦长满足勾股定理，求解相交弦长的最小值．

解答 解：（1）圆C的方程可化为（x-1）²+（y-a）²=25，
将圆心坐标（1，a）代入直线方程2x-y=0中，
得a=2（4分）
（2）∵直线l的方程可化为（2x+y-7）m+（x+y-4）=0（m∈R）．
∴l恒过的交点M（3，1）．（7分）
由圆的性质可知，当l⊥CM时，弦长最短．
又|CM|=$\sqrt{（3-1）2+（1-2）2}$=$\sqrt{5}$，
∴弦长为l=2$\sqrt{r2-|CM|2}$=2$\sqrt{25-5}$=4$\sqrt{5}$．（10分）

点评 本题考查圆的方程的应用，考查直线与圆的位置关系，考查计算能力．