Question

4．已知数列{a_n}满足a₁=1，a₂=3，a_n+2=3a_n（n∈N^*）则数列{a_n}的前2015项的和S₂₀₁₅等于（　　）

• A． 3¹⁰⁰⁸-2
• B． 3¹⁰⁰⁸-1
• C． 3²⁰¹⁵-2
• D． 3²⁰¹⁵-3

Answer 1

分析 由题意易得数列的奇数项为1为首项3为公比的等比数列，偶数项是3为首项3为公比的等比数列，S₂₀₁₅=（a₁+a₃+a₅+…+a₂₀₁₅）+（a₂+a₄+a₆+…+a₂₀₁₄），由等比数列的求和公式可得答案．

解答 解：∵数列{a_n}满足a₁=1，a₂=3，a_n+2=3a_n（n∈N^*），∴$\frac{{a}_{n+2}}{{a}_{n}}$=3，
∴数列的奇数项为1为首项3为公比的等比数列，偶数项是3为首项3为公比的等比数列，
∴数列{a_n}的前2015项的和S₂₀₁₅=（a₁+a₃+a₅+…+a₂₀₁₅）+（a₂+a₄+a₆+…+a₂₀₁₄）
=$\frac{1×（1-{3}^{1008}）}{1-3}$+$\frac{3×（1-{3}^{1007}）}{1-3}$=$\frac{1}{2}$（3¹⁰⁰⁸-1）+$\frac{1}{2}$（3¹⁰⁰⁸-3）=3¹⁰⁰⁸-2，
故选：A．

点评 本题考查等比数列的求和公式，涉及等比数列的判定，属基础题．