Question

12．若函数f（x）=|a^x+x²-xlna-m|-2，（a＞0且a≠1）有两个零点，则m的取值范围是（-1，3）．

Answer 1

分析 令g（x）=a^x+x²-x•lna，先讨论a＞1，0＜a＜1求出单调区间，进而判断函数g（x）的极小值，
再由y=|g（x）-m|-2有两个零点，所以方程g（x）=m±2有2个根，而m+2＞m-2，所以m+2＞1且m-2＜1，即可得到m的取值范围

解答 解：令g（x）=a^x+x²-x•lna，
g′（x）=a^xlna+2x-lna=2x+（a^x-1）lna，
①当a＞1，x∈（0，+∞）时，lna＞0，a^x-1＞0，则g′（x）＞0，
即函数g（x）在（0，+∞）上单调递增，
因为x∈（-∞，0）时，lna＞0，a^x-1＜0，
所以g′（x）＜0，
即函数g（x）在（-∞，0）上单调递减；
②因为当0＜a＜1时，x＞0，lna＜0，a^x-1＜0，
所以g′（x）＞0，
即函数g（x）在（0，+∞）上单调递增，
因为当x∈（-∞，0）时，lna＜0，a^x-1＞0，
所以g′（x）＜0，
即函数g（x）在（-∞，0）上单调递减．
故：当a＞0且a≠1时，g（x）在x＜0时递减；g（x）在x＞0时递增，
则x=0为g（x）的极小值点，且为最小值点，且最小值g（0）=1．
又函数f（x）=|g（x）-m|-2有两个零点，所以方程g（x）=m±2有二个根，
而m+2＞m-2，所以m+2＞1且m-2＜1，
解得m∈（-1，3）
故答案为：（-1，3）

点评 本题考查函数的零点，用导数判断函数单调性，利用导数研究函数极值，体现了转化的思想，以及学生灵活应用知识分析解决问题的能力和运算能力，属中档题