Question

1．已知$\left\{\begin{array}{l}{y≥0}\\{y≤x}\\{y≤2-x}\end{array}\right.$，求z=$\frac{2y+4}{x+1}$的取值范围．

Answer 1

分析 作出不等式组对应的平面区域，利用分式函数的性质，以及斜率的几何意义进行求解即可．

解答 解：作出不等式组对应的平面区域如图：则A（2，0），
z=$\frac{2y+4}{x+1}$=2•$\frac{y+2}{x+1}$，
设k=$\frac{y+2}{x+1}$，则k的几何意义为区域内的点到定点D（-1，-2）的斜率，
由图象知OD的斜率最大，为k=$\frac{-2}{-1}=2$，
AD的斜率最小，为k=$\frac{0+2}{2+1}$=$\frac{2}{3}$，
即$\frac{2}{3}$≤k≤2，
则$\frac{4}{3}$≤2k≤4，
即$\frac{4}{3}$≤z≤4，
故z=$\frac{2y+4}{x+1}$的取值范围是[$\frac{4}{3}$，4]

点评 本题主要考查线性规划的应用以及直线斜率的求解，利用分式函数的性质结合斜率的几何意义是解决本题的关键．