Question

11．求y=$\sqrt{1-x}$-$\sqrt{x}$的定义域和值域．

Answer 1

分析 由题意得$\left\{\begin{array}{l}{1-x≥0}\\{x≥0}\end{array}\right.$，从而求函数的定义域，再由换元法求函数的值域即可．

解答 解：由题意得，
$\left\{\begin{array}{l}{1-x≥0}\\{x≥0}\end{array}\right.$，
解得，0≤x≤1，
故y=$\sqrt{1-x}$-$\sqrt{x}$的定义域为[0，1]；
令x=sin²α，α∈[0，$\frac{π}{2}$]；
则y=$\sqrt{1-x}$-$\sqrt{x}$=cosα-sinα，
=$\sqrt{2}$sin（$\frac{π}{4}$-α），
∵α∈[0，$\frac{π}{2}$]；
∴-$\frac{\sqrt{2}}{2}$≤sin（$\frac{π}{4}$-α）≤$\frac{\sqrt{2}}{2}$，
∴-1≤$\sqrt{2}$sin（$\frac{π}{4}$-α）≤1，
即函数y=$\sqrt{1-x}$-$\sqrt{x}$的值域为[-1，1]．

点评 本题考查了函数的定义域与值域的求法，属于基础题．