Question

17．设x∈R，函数f（x）=cosx（2$\sqrt{3}$sinx-cosx）+sin²x．
（1）求函数f（x）的单调递增区间；
（2）若f（$\frac{α}{2}$）=$\frac{1}{2}$，（$\frac{π}{6}$＜α＜$\frac{2π}{3}$），求sinα．

Answer 1

分析 （1）首先通过三角函数的恒等变换，把函数的关系式变形成正弦型函数，进一步利用整体思想求出三角函数的单调递增区间．
（2）首先利用（1）求出的函数关系式，进一步利用角的恒等变换求出结果．

解答 解：（1）函数f（x）=cosx（2$\sqrt{3}$sinx-cosx）+sin²x
=$\sqrt{3}sin2x-{（cos}^{2}x-{sin}^{2}x）$
=$\sqrt{3}sin2x-cos2x$
=$2sin（2x-\frac{π}{6}）$
令：$-\frac{π}{2}+2kπ≤2x-\frac{π}{6}≤\frac{π}{2}+2kπ$（k∈Z）
解得：$-\frac{π}{6}+kπ≤x≤\frac{π}{3}+kπ$
所以函数的单调递增区间为：[$-\frac{π}{6}+kπ，\frac{π}{3}+kπ$]（k∈Z）
（2）由（1）得：f（x）=$2sin（2x-\frac{π}{6}）$
因为：$f（\frac{α}{2}）=\frac{1}{2}$
所以函数关系式转化为：$2sin（α-\frac{π}{6}）=\frac{1}{2}$
即：$sin（α-\frac{π}{6}）=\frac{1}{4}$
$\frac{π}{6}＜α＜\frac{2π}{3}$，
所以：$0＜α-\frac{π}{6}＜\frac{π}{2}$，
则：$cos（α-\frac{π}{6}）=\frac{\sqrt{15}}{4}$，
所以：$sinα=sin[（α-\frac{π}{6}）+\frac{π}{6}]$=$sin（α-\frac{π}{6}）cos\frac{π}{6}+cos（α-\frac{π}{6}）sin\frac{π}{6}$
=$\frac{\sqrt{3}+\sqrt{15}}{8}$

点评 本题考查的知识要点：三角函数关系式的恒等变换，正弦型函数的单调性的应用，利用三角函数的角的恒等变换求三角函数的值．