Question

15．已知f（x）=x³+ax²-a²x+2
（1）当a=1，求曲线y=f（x）在点（1，f（1）处的切线方程
（2）当a≠0，求函数f（x）的单调区间
（3）不等式2x1nx≤f′（x）+a²+1恒成立，求实数a的取值范围．

Answer 1

分析 （1）求出切点坐标，斜率k，k=f′（1），用点斜式即可求出方程；
（2）解含参的不等式：f′（x）＞0，f′（x）＜0即可；
（3）分离出参数a后，转化为函数的最值问题解决，注意函数定义域．

解答 解：（1）∵a=1，∴f（x）=x³+x²-x+2，
∴f′（x）=3x²+2x-1，∴k=f′（1）=4，又f（1）=3，即切点坐标为（1，3）．
∴所求切线方程为y-3=4（x-1），即4x-y-1=0．
（2）f′（x）=3x²+2ax-a²=（x+a）（3x-a），由f′（x）=0，得x=-a或x=$\frac{a}{3}$．
①当a＞0时，由f′（x）＜0，得-a＜x＜$\frac{a}{3}$；由f′（x）＞0，得x＜-a或x＞$\frac{a}{3}$，
此时f（x）的单调递减区间为（-a，$\frac{a}{3}$），单调递增区间为（-∞，-a）和（$\frac{a}{3}$，+∞）．
②当a＜0时，由f′（x）＜0，得$\frac{a}{3}$＜x＜-a；由f′（x）＞0，得x＜$\frac{a}{3}$或x＞-a．
此时f（x）的单调递减区间为（$\frac{a}{3}$，-a），单调递增区间为（-∞，$\frac{a}{3}$）和（-a，+∞）．
综上：当a＞0时，f（x）的减区间为（-a，$\frac{a}{3}$），增区间为（-∞，-a）和（$\frac{a}{3}$，+∞）；
当a＜0时，f（x）的减区间为（$\frac{a}{3}$，-a），增区间为（-∞，$\frac{a}{3}$）和（-a，+∞）．
（3）依题意x∈（0，+∞），不等式2xlnx≤f′（x）+a²+1恒成立，
等价于2xlnx≤3x²+2ax+1在（0，+∞）上恒成立，
可得a≥lnx-$\frac{3}{2}$x-$\frac{1}{2x}$在（0，+∞）上恒成立，
设h（x）=lnx-$\frac{3x}{2}$-$\frac{1}{2x}$，则h′（x）=$\frac{1}{x}$-$\frac{3}{2}$+$\frac{1}{2{x}^{2}}$=-$\frac{（x-1）（3x+1）}{2{x}^{2}}$．
令h′（x）=0，得x=1，x=-$\frac{1}{3}$（舍），当0＜x＜1时，h′（x）＞0；当x＞1时，h′（x）＜0，
当x变化时，h′（x），h（x）变化情况如下表：

x	（0，1）	1	（1，+∞）
h′（x）	+	0	-
h（x）	单调递增	-2	单调递减

∴当x=1时，h（x）取得最大值，h（x）_max=-2，∴a≥-2．
∴a的取值范围是[-2，+∞）．

点评 本题考查了导数的几何意义、应用导数研究函数的单调性、求函数最值问题，不等式恒成立常转化为函数最值问题解决．