Question

10．已知函数f（x）=ln$\frac{x}{2}$+$\frac{1}{2}$，g（x）=e^x-2，对于?a∈R，?b∈（0，+∞）使得g（a）=f（b）成立，则b-a的最小值为（　　）

• A． ln2
• B． -ln2
• C． $2\sqrt{e}-3$
• D． e²-3

Answer 1

分析 不妨设g（a）=f（b）=m，从而可得b-a=2•${e}^{m-\frac{1}{2}}$-lnm-2，（m＞0）；再令h（m）=2•${e}^{m-\frac{1}{2}}$-lnm-2，从而由导数确定函数的单调性，再求最小值即可．

解答 解：不妨设g（a）=f（b）=m，
∴e^a-2=ln$\frac{b}{2}$+$\frac{1}{2}$=m，
∴a-2=lnm，b=2•${e}^{m-\frac{1}{2}}$，
故b-a=2•${e}^{m-\frac{1}{2}}$-lnm-2，（m＞0）
令h（m）=2•${e}^{m-\frac{1}{2}}$-lnm-2，
h′（m）=2•${e}^{m-\frac{1}{2}}$-$\frac{1}{m}$，
易知h′（m）在（0，+∞）上是增函数，
且h′（$\frac{1}{2}$）=0，
故h（m）=2•${e}^{m-\frac{1}{2}}$-lnm-2在m=$\frac{1}{2}$处有最小值，
即b-a的最小值为ln2；
故选：A．

点评 本题考查了函数的性质应用及导数的综合应用，属于中档题．