Question

19．某市约有20万住户，为了节约能源，拟出台“阶梯电价”制度，即制定住户月用电量的临界值a．若某住户某月用电量不超过a度，则按平价（即原价）0.5（单位：元/度）计费；若某月用电量超过a度，则超出部分按议价b（单位：元/度）计费，未超出部分按平价计费，为确定a的值，随机调查了该市100户的月用电量，统计分析后得到如图所示的频率分布直方图．
根据频率分布直方图解答以下问题（同一组数据用该区间的中点值作代表）：
（Ⅰ）若该市计划让全市70%的住户在“阶梯电价”出台前后缴纳的电费不变，求临界值a；
（Ⅱ）在（Ⅰ）的条件下，假定出台“阶梯电价”之后，月用电量未达a度的住户用电量保持不变；月用电量超过a度的住户节省“超出部分”的60%，试估计全市每月节约的电量；
（Ⅲ）在（Ⅰ）（Ⅱ）条件下，若出台“阶梯电价”前后全市缴纳电费总额不变，求议价b．

Answer 1

分析 （I）根据前四组（用电量在区间[0，80）内）的累积频率为0.7，可得临界值a；
（Ⅱ）在（Ⅰ）的条件下，分别求出电量在区间[0，80），[80，100），[100，120）用户的节电量，累加可得答案．
（Ⅲ）在（Ⅰ）（Ⅱ）条件下，若出台“阶梯电价”前后全市缴纳电费总额不变，则超出部分对应的总电费也不变，由此构造方程可得答案．

解答 解：（Ⅰ）由已知中的频率分布直方图，可知：
前四组（用电量在区间[0，80）内）的累积频率为：（0.0020+0.0060+0.0120+0.0150）×20=0.7，
故若该市计划让全市70%的住户在“阶梯电价”出台前后缴纳的电费不变，
临界值a=80；
（Ⅱ）在（Ⅰ）的条件下，月用电量未达a度的住户用电量保持不变；
故用电量在区间[0，80）内的用户节电量为0度；
用电量在区间[80，100）内的25户用户，平均每户用电90度，超出部分为10度，
根据题意每户节约6度，共6×25=150度；
用电量在区间[100，120）内的5户用户，平均每户用电110度，超出部分为30度，
根据题意每户节约18度，共18×5=90度；
故样本的100户住户共节电150+90=240度，
用样本估计总体，估计全市每月节约的电量为240×$\frac{200000}{100}$=480000度；
（Ⅲ）在（Ⅰ）（Ⅱ）条件下，由出台“阶梯电价”前后全市缴纳电费总额不变，故超出部分对应的总电费也不变；
由（Ⅰ）（Ⅱ）知，抽取的100户用户中，超出部分共计10×25+30×5=400度，
节约了240度后，剩余160度，
故400×0.5=160b，
解得b=1.25

点评 本题考查的知识点是频率分布直方图，用样本估计总体，难度中档．