Question

11．称d（$\overrightarrow{a}，\overrightarrow{b}$）=|$\overrightarrow{a}$-$\overrightarrow{b}$|为两个向量$\overrightarrow{a}$、$\overrightarrow{b}$间的“距离”．若向量$\overrightarrow{a}$、$\overrightarrow{b}$满足：①|$\overrightarrow{b}$|=1；②$\overrightarrow{a}$≠$\overrightarrow{b}$；③对任意的t∈R，恒有d（$\overrightarrow{a}$，t$\overrightarrow{b}$）≥d（$\overrightarrow{a}$，$\overrightarrow{b}$），则（　　）

• A． $\overrightarrow{a}⊥\overrightarrow{b}$
• B． $\overrightarrow{a}$⊥（$\overrightarrow{a}-\overrightarrow{b}$）
• C． $\overrightarrow{b}$⊥（$\overrightarrow{a}-\overrightarrow{b}$）
• D． （$\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}$）⊥（$\overrightarrow{a}-\overrightarrow{b}$）

Answer 1

分析 先作向量$\overrightarrow{OA}=\overrightarrow{a}，\overrightarrow{OB}=\overrightarrow{b}$，从而$\overrightarrow{BA}=\overrightarrow{a}-\overrightarrow{b}$，容易判断向量t$\overrightarrow{b}$的终点在直线OB上，并设$\overrightarrow{OC}=t\overrightarrow{b}$，连接AC，则有$\overrightarrow{CA}=\overrightarrow{a}-t\overrightarrow{b}$．从而根据向量距离的定义，可说明AB⊥OB，从而得到$\overrightarrow{b}⊥（\overrightarrow{a}-\overrightarrow{b}）$．

解答 解：如图，作$\overrightarrow{OA}=\overrightarrow{a}，\overrightarrow{OB}=\overrightarrow{b}$，则$\overrightarrow{BA}=\overrightarrow{a}-\overrightarrow{b}$，t$\overrightarrow{b}$∥$\overrightarrow{b}$，
∴向量t$\overrightarrow{b}$的终点在直线OB上，设其终点为C，则：
根据向量距离的定义，对任意t都有d（$\overrightarrow{a}，t\overrightarrow{b}$）=$|\overrightarrow{AC}|≥|\overrightarrow{AB}|$；
∴AB⊥OB；
∴$\overrightarrow{b}⊥（\overrightarrow{a}-\overrightarrow{b}）$．
故选：C．

点评 考查有向线段可表示向量，以及对向量距离的理解，向量减法的几何意义，共线向量基本定理．