Question

1．已知函数f（x）=ln（2x+1）+3，若方程f（x）+f′（x）-3=a有解，则实数a的取值范围是[1+ln2，+∞）．

Answer 1

分析 求函数的导数，利用导数研究函数的极值和最值即可得到结论．

解答 解；函数的导数f′（x）=$\frac{2}{2x+1}$，函数的定义域为{x|x＞$-\frac{1}{2}$}，
则由f（x）+f′（x）-3=a得ln（2x+1）+$\frac{2}{2x+1}$-3=a，
设g（x）=ln（2x+1）+$\frac{2}{2x+1}$+3-3=ln（2x+1）+$\frac{2}{2x+1}$，
则函数的f（x）的导数g′（x）=$\frac{2}{2x+1}$$-\frac{4}{（2x+1）^{2}}$=$\frac{2（2x-1）}{（2x+1）^{2}}$，
当x＞$\frac{1}{2}$得函数的导数g′（x）＞0，
当-$\frac{1}{2}$＜x＜$\frac{1}{2}$，则函数的导数g′（x）＜0，
则函数g（x）的极小值同时也是最小值为g（$\frac{1}{2}$）=1+ln2，
故若方程f（x）+f′（x）-3=a有解，则a≥1+ln2，
故答案为：[1+ln2，+∞）；

点评 本题主要考查函数与方程的应用，求函数的导数，利用导数研究函数的极值和最值是解决本题的关键．