Question

16．已知△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若b=2且a=2cosC+csinB，则△ABC的面积的最大值为$\sqrt{2}$+1．

Answer 1

分析 a=bcosC+ccosB，又a=2cosC+csinB，b=2，可得B．由余弦定理可得：b²=a²+c²-2accosB，利用基本不等式的性质可得：ac，即可得出三角形面积的最大值．

解答 解：∵a=bcosC+ccosB，又a=2cosC+csinB，b=2，
∴cosB=sinB，
∴tanB=1，B∈（0，π）．
由余弦定理可得：b²=a²+c²-2accosB
∴4≥2ac-$\sqrt{2}$ac，当且仅当a=c时取等号．
∴ac≤4+2$\sqrt{2}$．
∴S_△ABC=$\frac{1}{2}acsinB$$≤\frac{1}{2}×（4+2\sqrt{2}）×\frac{\sqrt{2}}{2}$=$\sqrt{2}$+1．
故答案为：$\sqrt{2}$+1．

点评 本题考查了余弦定理、三角形面积的计算公式、基本不等式的性质，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．