Question

6．（$\sqrt{x}$+$\frac{2}{\root{3}{x}}$）ⁿ展开式第9项与第10项二次项系数相等，求x的一次项系数．

Answer 1

分析 由题意可得${C}_{n}^{8}={C}_{n}^{9}$，故有n=8+9=17，求出展开式的通项，令x的指数为1，即可求出x的一次项系数．

解答 解：∵（$\sqrt{x}$+$\frac{2}{\root{3}{x}}$）ⁿ展开式第9项与第10项二次项系数相等，
∴${C}_{n}^{8}={C}_{n}^{9}$，∴n=8+9=17，
∴T_r+1=${C}_{17}^{r}•{2}^{r}•{x}^{\frac{51-5r}{6}}$，
令51-5r=6，可得r=9，
∴x的一次项系数是${C}_{10}^{9}$×2⁹．

点评 本题主要考查二项式定理的应用，二项展开式的通项公式，求展开式中某项的系数，二项式系数的性质，属于中档题．