Question

15．如图，一条东西走向的大江，其河岸A处有人要渡江到对岸B处，江面上有一座大桥AC，已知B在A的西南方向，C在A的南偏西15°，BC=10公里．现有两种渡江方案：
方案一：开车从大桥AC渡江到C处，然后再到B处；
方案二：直接坐船从A处渡江到对岸B处．
若车速为每小时60公里，船速为每小时45公里（不考虑水流速度），为了尽快到达B处，应选择哪个方案？说明理由．

Answer 1

分析 分别计算两种方案的时间即可．

解答 解：如图，过A作AD垂直BC交于D，
根据题意知∠CAD=15°，∠BAD=45°，
设CD为x公里，则有AD=$\frac{CD}{tan15°}$，
由于tan15°=tan（45°-30°）
=$\frac{tan45°-tan30°}{1+tan45°tan30°}$=$\frac{1-\frac{\sqrt{3}}{3}}{1+1×\frac{\sqrt{3}}{3}}$=$\frac{3-\sqrt{3}}{3+\sqrt{3}}$=$2-\sqrt{3}$，
故AD=$\frac{CD}{tan15°}$=$\frac{x}{2-\sqrt{3}}$=（2$+\sqrt{3}$）x，
∵BC=10公里，∠BAD=45°，∴BD=AD，
即（2$+\sqrt{3}$）x=x+10，解得x=CD=$5\sqrt{3}-5$，
从而AD=（2$+\sqrt{3}$）×（$5\sqrt{3}-5$）=5+$5\sqrt{3}$，
AC=$\sqrt{C{D}^{2}+A{D}^{2}}$=$\sqrt{（5\sqrt{3}-5）^{2}+（5+5\sqrt{3}）^{2}}$=10$\sqrt{2}$≈14.14，
AB=$\sqrt{2}AD$=$\sqrt{2}×$（5+$5\sqrt{3}$）=$5\sqrt{2}（\sqrt{3}+1）$≈19.32，
下面分别计算两种方案所要花费的时间：
方案一：$\frac{AC+BC}{60}$≈$\frac{14.14+10}{60}$≈0.4023（时）；
方案二：$\frac{AB}{45}$$≈\frac{19.32}{45}$≈0.4293（时）；
显然选择方案一．

点评 本题考查速度、路程、时间之间的关系，属于基础题．