Question

10．如图，由四个边长为1的等边三角形拼成一个边长为2的等边三角形，各项点依次为，A₁，A₂，A₃，…A₆则$\overrightarrow{{A_1}{A_2}}•\overrightarrow{{A_j}{A_i}}，（{i，j∈[{1，2，3，…6}]}）$的值组成的集合为（　　）

• A． {-2，-1，0，1，2}
• B． $\left\{{-2，-1，-\frac{1}{2}，0，\frac{1}{2}，1，2}\right\}$
• C． $\left\{{-\frac{3}{2}，-1，-\frac{1}{2}，0，\frac{1}{2}，1，\frac{3}{2}}\right\}$
• D． $\left\{{-2，-\frac{3}{2}，-1，-\frac{1}{2}，0，\frac{1}{2}，1，\frac{3}{2}，2}\right\}$

Answer 1

分析 通过观察图形知道向量$\overrightarrow{{A}_{j}{A}_{i}}$分成以下三个类型：①小三角形边上的向量，②大三角形边上的向量，③大三角形中线向量，这样求出每种情况下$\overrightarrow{{A}_{1}{A}_{2}}•\overrightarrow{{A}_{j}{A}_{i}}$的值，从而求得答案．

解答 解：对向量$\overrightarrow{{A}_{j}{A}_{i}}$分成以下几种类型：
边长为1的小三角形边上的向量，只需找一个小三角形A₁A₂A₄，它其它小三角形边上的向量相等；
大三角形A₁A₃A₆边上的向量，和它的中线上的向量，所以有：
$\overrightarrow{{A}_{1}{A}_{2}}•\overrightarrow{{A}_{1}{A}_{2}}=1$，$\overrightarrow{{A}_{1}{A}_{2}}•\overrightarrow{{A}_{2}{A}_{1}}=-1$，$\overrightarrow{{A}_{1}{A}_{2}}•\overrightarrow{{A}_{1}{A}_{4}}=\frac{1}{2}$，$\overrightarrow{{A}_{1}{A}_{2}}•\overrightarrow{{A}_{4}{A}_{1}}=-\frac{1}{2}$，$\overrightarrow{{A}_{1}{A}_{2}}•\overrightarrow{{A}_{2}{A}_{4}}=-\frac{1}{2}$，$\overrightarrow{{A}_{1}{A}_{2}}•\overrightarrow{{A}_{4}{A}_{2}}=\frac{1}{2}$，$\overrightarrow{{A}_{1}{A}_{2}}•\overrightarrow{{A}_{1}{A}_{3}}=2$，$\overrightarrow{{A}_{1}{A}_{2}}•\overrightarrow{{A}_{3}{A}_{1}}=-2$，$\overrightarrow{{A}_{1}{A}_{2}}•\overrightarrow{{A}_{1}{A}_{6}}=1$，$\overrightarrow{{A}_{1}{A}_{2}}•\overrightarrow{{A}_{6}{A}_{1}}=-1$，$\overrightarrow{{A}_{1}{A}_{2}}•\overrightarrow{{A}_{3}{A}_{6}}=-1，\overrightarrow{{A}_{1}{A}_{2}}•\overrightarrow{{A}_{6}{A}_{3}}=1$，$\overrightarrow{{A}_{1}{A}_{2}}•\overrightarrow{{A}_{1}{A}_{5}}=\frac{3}{2}$，$\overrightarrow{{A}_{1}{A}_{2}}•\overrightarrow{{A}_{5}{A}_{1}}=-\frac{3}{2}$，$\overrightarrow{{A}_{1}{A}_{2}}•\overrightarrow{{A}_{3}{A}_{4}}=-\frac{3}{2}$，$\overrightarrow{{A}_{1}{A}_{2}}•\overrightarrow{{A}_{4}{A}_{3}}=\frac{3}{2}$，$\overrightarrow{{A}_{1}{A}_{2}}•\overrightarrow{{A}_{2}{A}_{6}}=\overrightarrow{{A}_{1}{A}_{2}}•\overrightarrow{{A}_{6}{A}_{2}}=0$；
∴$\overrightarrow{{A}_{1}{A}_{2}}•\overrightarrow{{A}_{j}{A}_{i}}$所有值组成的集合为{1，-1，$\frac{1}{2}，-\frac{1}{2}，2，-2，\frac{3}{2}，-\frac{3}{2}，0$}．
故选：D．

点评 考查相等向量，相反向量的概念，向量数量积的计算公式，等边三角形中线的特点．