Question

6．△ABC外接圆的半径为2，圆心为O，且2$\overrightarrow{OA}$+$\overrightarrow{AB}$+$\overrightarrow{AC}$=$\overrightarrow{0}$，|$\overrightarrow{OA}$|=|$\overrightarrow{AB}$|，则$\overrightarrow{CA}$•$\overrightarrow{CB}$的值是（　　）

• A． 12
• B． 11
• C． 10
• D． 9

Answer 1

分析 运用向量的三角形法则，以及外心的特点，可得O为BC的中点，A为直角，再由勾股定理和向量的数量积的定义，计算即可得到．

解答 解：2$\overrightarrow{OA}$+$\overrightarrow{AB}$+$\overrightarrow{AC}$=$\overrightarrow{0}$，即有2$\overrightarrow{OA}$+$\overrightarrow{OB}$-$\overrightarrow{OA}$+$\overrightarrow{OC}$-$\overrightarrow{OA}$=$\overrightarrow{0}$，
可得$\overrightarrow{OB}$+$\overrightarrow{OC}$=$\overrightarrow{0}$，则O为BC的中点，
即有AB⊥AC，
又|$\overrightarrow{OA}$|=|$\overrightarrow{AB}$|，
则△ABO为等边三角形，且边长为2，
由勾股定理可得，AC=$\sqrt{B{C}^{2}-A{B}^{2}}$=2$\sqrt{3}$，
则$\overrightarrow{CA}$•$\overrightarrow{CB}$=|$\overrightarrow{CA}$|•|$\overrightarrow{CB}$|•cos∠ACB=2$\sqrt{3}$×4×$\frac{\sqrt{3}}{2}$=12．
故选A．

点评 本题考查向量的三角形法则和向量的数量积的定义的运用，同时考查三角形的外心的概念和勾股定理的运用，属于基础题．