Question

11．已知函数f（x）=mx-$\frac{m}{x}$，g（x）=2lnx．
（Ⅰ）当m=1时，判断方程f（x）=g（x）在区间（1，+∞）上有无实根．
（Ⅱ）若x∈（1，e]时，不等式f（x）-g（x）＜2恒成立，求实数m的取值范围．

Answer 1

分析 （Ⅰ）m=1时，令$h（x）=f（x）-g（x）=x-\frac{1}{x}-2lnx$，求导数，证明h（x）在（0，+∞）上为增函数，利用h（1）=0，可得结论；
（Ⅱ）$mx-\frac{m}{x}-2lnx＜2$恒成立，即m（x²-1）＜2x+2xlnx恒成立，又x²-1＞0，则当x∈（1，e]时，$m＜\frac{2x+2xlnx}{{{x^2}-1}}$恒成立，构造函数$G（x）=\frac{2x+2xlnx}{{{x^2}-1}}$，只需m小于G（x）的最小值．

解答 解：（Ⅰ）m=1时，令$h（x）=f（x）-g（x）=x-\frac{1}{x}-2lnx$，…（1分）
$h'（x）=1+\frac{1}{x^2}-\frac{2}{x}=\frac{{{{（{x-1}）}^2}}}{x^2}≥0$，…（4分）
∴h（x）在（0，+∞）上为增函数…（5分）
又h（1）=0，∴f（x）=g（x）在（1，+∞）内无实数根…（6分）
（Ⅱ）$mx-\frac{m}{x}-2lnx＜2$恒成立，即m（x²-1）＜2x+2xlnx恒成立，
又x²-1＞0，则当x∈（1，e]时，$m＜\frac{2x+2xlnx}{{{x^2}-1}}$恒成立，…（8分）
令$G（x）=\frac{2x+2xlnx}{{{x^2}-1}}$，只需m小于G（x）的最小值，
$G'（x）=\frac{{-2（{x^2}lnx+lnx+2）}}{{{{（{{x^2}-1}）}^2}}}$，…（10分）
∵1＜x≤e，∴lnx＞0，
∴当x∈（1，e]时，G′（x）＜0，∴G（x）在（1，e]上单调递减，
∴G（x）在（1，e]的最小值为$G（e）=\frac{4e}{{{e^2}-1}}$，
则m的取值范围是$（{-∞，\frac{4e}{{{e^2}-1}}}）$…（12分）

点评 本题考查导数知识的综合运用，考查函数的单调性，考查恒成立问题，正确分离参数，构造函数求最值是关键．