Question

16．若二项式（$\frac{{\sqrt{5}}}{5}{x^2}+\frac{1}{x}$）⁶的展开式中的常数项为m，则$\int\begin{array}{l}m\\ 1\end{array}（{x^2}-2x）dx$=（　　）

• A． $\frac{1}{3}$
• B． -$\frac{1}{3}$
• C． $\frac{2}{3}$
• D． -$\frac{2}{3}$

Answer 1

分析 运用二项式展开式的通项公式，化简整理，令x的次数为0，求出m，再由定积分的运算法则，即可求得．

解答 解：二项式（$\frac{{\sqrt{5}}}{5}{x^2}+\frac{1}{x}$）⁶的展开式的通项公式为：T_r+1=${C}_{6}^{r}（\frac{\sqrt{5}}{5}）^{6-r}{x}^{12-3r}$，
令12-3r=0，则r=4．
即有m=${C}_{6}^{4}•（\frac{\sqrt{5}}{5}）^{2}$=3．
则$\int\begin{array}{l}m\\ 1\end{array}（{x^2}-2x）dx$=${∫}_{1}^{3}$（x²-2x）dx=（$\frac{1}{3}$x³-x²）${|}_{1}^{3}$=$\frac{2}{3}$．
故选：C．

点评 本题考查二项式定理的运用：求特定项，同时考查定积分的运算，属于基础题．