Question

7．设向量$\overrightarrow{a}$=（sin2x，sin$\frac{3π}{4}$），$\overrightarrow{b}$=（cos$\frac{3π}{4}$，-cos2x），f（x）=$\overrightarrow{a}$•$\overrightarrow{b}$．
（1）求f（x）的最小正周期；
（2）求f（x）在区间[0，π]上的单调递减区间．

Answer 1

分析 （1）由条件利用两个向量的数量积公式求得f（x）的解析式，再根据正弦函数的周期性得出结论．
（2）由条件根据正弦函数的单调性求得f（x）的减区间，再结合x∈[0，π]，进一步确定函数的减区间．

解答 解：（1）由题意可得f（x）=$\overrightarrow{a}$•$\overrightarrow{b}$=sin2xcos$\frac{3π}{4}$-sin$\frac{3π}{4}$cos2x=sin（2x-$\frac{3π}{4}$），
故函数的最小正周期为$\frac{2π}{2}$=π．
（2）令2kπ+$\frac{π}{2}$≤2x-$\frac{3π}{4}$≤2kπ+$\frac{3π}{2}$，求得kπ+$\frac{5π}{8}$≤x≤kπ+$\frac{7π}{8}$，
故函数的减区间为[kπ+$\frac{5π}{8}$，kπ+$\frac{7π}{8}$]，k∈z．
再根据x∈[0，π]，可得函数的减区间为[$\frac{5π}{8}$，$\frac{7π}{8}$]．

点评 本题主要考查两个向量的数量积公式，三角函数的恒等变换，正弦函数的周期性和单调性，属于中档题．