Question

9．（1+$\frac{1}{{x}^{2}}$）（x+$\frac{1}{x}$）⁶展开式中的常数项为（　　）

• A． 35
• B． 30
• C． 20
• D． 10

Answer 1

分析 （1+$\frac{1}{{x}^{2}}$）（x+$\frac{1}{x}$）⁶=（x+$\frac{1}{x}$）⁶+x^-2（x+$\frac{1}{x}$）⁶，将（1+$\frac{1}{{x}^{2}}$）（x+$\frac{1}{x}$）⁶展开式中的常数项转化为（x+$\frac{1}{x}$）⁶的常数项加上（x+$\frac{1}{x}$）⁶的含x²项的系数，利用二项展开式的通项公式，即可得出结论．

解答 解：因为（1+$\frac{1}{{x}^{2}}$）（x+$\frac{1}{x}$）⁶=（x+$\frac{1}{x}$）⁶+x^-2（x+$\frac{1}{x}$）⁶
所以（1+$\frac{1}{{x}^{2}}$）（x+$\frac{1}{x}$）⁶展开式中的常数项为：（x+$\frac{1}{x}$）⁶的常数项加上（x+$\frac{1}{x}$）⁶的含x²项的系数，
（x+$\frac{1}{x}$）⁶的展开式的通项为T_r+1=${C}_{6}^{r}{x}^{6-2r}$，
令6-2r=0得r=3，所以（x+$\frac{1}{x}$）⁶的常数项为20，
令6-2r=2得r=2所以（x+$\frac{1}{x}$）⁶的含x²项的系数为15，
所以（1+$\frac{1}{{x}^{2}}$）（x+$\frac{1}{x}$）⁶展开式中的常数项为20+15=35．
故选：A

点评 本题考查等价转化的能力、考查利用二项展开式的通项公式解决二项展开式的特殊项问题，属于中档题．