Question

5．如图1，在边长为4的菱形ABCD中，∠DAB=60°，点E，F分别是边CD，CB的中点，AC∩EF=O．沿EF将△CEF翻折到△PEF，连接PA，PB，PD，得到如图2的五棱锥P-ABFED，且PB=$\sqrt{10}$．
（1）求证：BD⊥平面POA；
（2）求四棱锥P-BFED的体积．

Answer 1

分析 （1）由三角形的中位线定理可证BD∥EF，再由菱形的对角线互相垂直证得BD⊥AC．即可得到EF⊥AO，再由已知可得EF⊥PO，然后利用线面垂直的判定得答案；
（2）设AO∩BD=H，连接BO，结合已知可得HO=PO=$\sqrt{3}$，通过解直角三角形求得PO⊥平面BFED．然后求出梯形BFED的面积，代入棱锥的体积公式得答案．

解答 （1）证明：如图，
∵点E，F分别是边CD，CB的中点，
∴BD∥EF．
∵菱形ABCD的对角线互相垂直，
∴BD⊥AC．
∴EF⊥AC．
∴EF⊥AO，EF⊥PO．
∵AO?平面POA，PO?平面POA，AO∩PO=O，
∴EF⊥平面POA．
∴BD⊥平面POA．
（2）解：设AO∩BD=H，连接BO，
∵∠DAB=60°，
∴△ABD为等边三角形．
∴BD=4，BH=2，HA=$2\sqrt{3}$，HO=PO=$\sqrt{3}$．
在Rt△BHO中，$BO=\sqrt{B{H}^{2}+H{O}^{2}}=\sqrt{7}$，
在△PBO中，BO²+PO²=10=PB²，
∴PO⊥BO．
∵PO⊥EF，EF∩BO=O，EF?平面BFED，BO?平面BFED，
∴PO⊥平面BFED．
梯形BFED的面积为$S=\frac{1}{2}（EF+BD）•HO=3\sqrt{3}$，
∴四棱锥P-BFED的体积$V=\frac{1}{3}S•PO=\frac{1}{3}×3\sqrt{3}×\sqrt{3}$=3．

点评 本小题主要考查空间线面关系、几何体的体积等知识，考查数形结合、化归与转化的数学思想方法，以及空间想象能力、推理论证能力和运算求解能力，是中档题．