Question

15．在锐角△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且a=$\sqrt{13}$，b=7，函数f（x）=$\frac{1}{2}$sin2xcosA-sinAsin²x（x∈R），且f（x）的最大值为$\frac{1}{4}$．
（Ⅰ）求函数f（x）的单调递增区间；
（Ⅱ）求△ABC的面积．

Answer 1

分析 （I）利用倍角公式与两角和差的正弦公式可得：f（x）=$\frac{1}{2}$sin（2x+A）-$\frac{1}{2}$sinA，根据f（x）的最大值为$\frac{1}{4}$，可得$\frac{1}{2}-\frac{1}{2}sinA$=$\frac{1}{4}$，解得$A=\frac{π}{6}$，可得f（x）=$\frac{1}{2}$sin（2x+$\frac{π}{6}$）-$\frac{1}{4}$，再利用正弦函数的单调性即可得出．
（II）由余弦定理可得：a²=b²+c²-2bccosA解得c．利用S_△ABC=$\frac{1}{2}bcsinA$即可得出．

解答 解：（I）f（x）=$\frac{1}{2}$sin2xcosA-sinA$•\frac{1-cos2x}{2}$=$\frac{1}{2}$（sin2xcosA+sinAcos2x）-$\frac{1}{2}$sinA=$\frac{1}{2}$sin（2x+A）-$\frac{1}{2}$sinA，
∵f（x）的最大值为$\frac{1}{4}$，
∴$\frac{1}{2}-\frac{1}{2}sinA$=$\frac{1}{4}$，化为sinA=$\frac{1}{2}$，
∵△ABC是锐角三角形，∴$A=\frac{π}{6}$，
∴f（x）=$\frac{1}{2}$sin（2x+$\frac{π}{6}$）-$\frac{1}{4}$，由$-\frac{π}{2}+2kπ≤2x+\frac{π}{6}$$≤\frac{π}{2}+2kπ$，（k∈Z），
解得$kπ-\frac{π}{3}$≤x≤k$π+\frac{π}{6}$（k∈Z）．
∴函数f（x）的单调递增区间为$[kπ-\frac{π}{3}，kπ+\frac{π}{6}]$（k∈Z）．
（II）由余弦定理可得：a²=b²+c²-2bccosA，
∴$13={7}^{2}+{c}^{2}-14c×cos\frac{π}{6}$，化为${c}^{2}-7\sqrt{3}c+36$=0，解得c=$3\sqrt{3}$或4$\sqrt{3}$．
经过检验可得：$c=3\sqrt{3}$不符合题意，舍去．∴c=4$\sqrt{3}$．
∴S_△ABC=$\frac{1}{2}bcsinA$=$\frac{1}{2}×7×4\sqrt{3}×\frac{1}{2}$=7$\sqrt{3}$．

点评 本题考查了倍角公式、两角和差的正弦公式、正弦函数的单调性、余弦定理、三角形的面积计算公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．