Question

10．已知函数f（x）的定义域为（0，+∞），对于给定的正数K，定义函数f_k（x）=$\left\{\begin{array}{l}f（x），f（x）≤K\\ K，f（x）＞K\end{array}$．若对于函数f（x）=$\frac{1nx+1}{e^x}$恒有f_k（x）=f（x），则（　　）

• A． K的最大值为$\frac{1}{e}$
• B． K的最小值为$\frac{1}{e}$
• C． K的最大值为2
• D． K的最小值为2

Answer 1

分析 由已知条件可得k≥f（x）_max，用导数确定函数函数的单调性，求解函数的最值，即可得到结论．，

解答 解：函数f（x）的导数f′（x）=$\frac{\frac{1}{x}•{e}^{x}-{e}^{x}（1+lnx）}{{e}^{2x}}$=$\frac{\frac{1}{x}-（1+lnx）}{{e}^{x}}$，
设g（x）=$\frac{1}{x}-（1+lnx）$，
则g（x）在（0，+∞）单调递减，且g（1）=0，
令f′（x）=0，即$\frac{1}{x}-（1+lnx）$=0，
解出x=1，
当0＜x＜1时，f′（x）＞0，f（x）单调递增，
当x＞1时，f′（x）＜0，f（x）单调递减．
故当x=1时，f（x）取到极大值同时也是最大值f（1）=$\frac{1}{e}$．
故当k≥$\frac{1}{e}$时，恒有f_k（x）=f（x）
因此k的最小值为$\frac{1}{e}$．
故选：B．

点评 本题主要考查函数新定义的应用，根据定义f_k（x）=f（x）等价为求函数f（x）的最大值，求函数的导数是解决本题的关键．