Question

19．已知公比为2的等比数列{a_n}中存在两项a_m，a_n，使得a_ma_n=16a₁²，则$\frac{1}{m}+\frac{4}{n}$的最小值为$\frac{3}{2}$．

Answer 1

分析 公比为2的等比数列{a_n}中存在两项a_m，a_n，使得a_ma_n=16a₁²，可得2^m+n-2=2⁴，化为m+n=6．再利用“乘1法”和基本不等式的性质即可得出．

解答 解：∵公比为2的等比数列{a_n}中存在两项a_m，a_n，使得a_ma_n=16a₁²，a₁≠0，
∴2^m+n-2=2⁴，
∴m+n=6．
则$\frac{1}{m}+\frac{4}{n}$=$\frac{1}{6}$（m+n）（$\frac{1}{m}+\frac{4}{n}$）=$\frac{1}{6}$（5+$\frac{n}{m}$+$\frac{4m}{n}$）≥$\frac{1}{6}$（5+2$\sqrt{\frac{n}{m}•\frac{4m}{n}}$）=$\frac{3}{2}$，当且仅当n=2m=4时取等号．
∴$\frac{1}{m}+\frac{4}{n}$的最小值为$\frac{3}{2}$．
故答案为：$\frac{3}{2}$．

点评 本题考查了等比数列的通项公式、“乘1法”和基本不等式的性质，考查了推理能力和计算能力，属于中档题．