Question

18．已知集合A={x|${C}_{x}^{4}$＞${C}_{x}^{6}$}，B={x|${C}_{10}^{x}$=${C}_{10}^{3x-2}$}，C={x|${A}_{9}^{x}$＞${C}_{4}^{2}$${A}_{9}^{x-2}$}，全集U=A∪B∪C，现从U中每次取出2奇2偶四个数．（提示：规定${A}_{n}^{0}$=1，${C}_{n}^{0}$=1．n∈N^*，本题在此规定下考虑定义域！）
（1）能组成多少个无重复数字的四位奇数；
（2）能组成多少个被5除余2的无重复数字的四位数？

Answer 1

分析 先根据排列和组合数公式，求出集合A，B，C，得到全集U，先确定个位数字，再确定其它数位的数字，问题得以解决．

解答 解：∵A={x|${C}_{x}^{4}$＞${C}_{x}^{6}$}，
∴$\frac{x！}{（x-4）！•4！}$＞$\frac{x！}{（x-6）！•6！}$，且x≥6
∴A={x|6≤x＜10}，
∵B={x|${C}_{10}^{x}$=${C}_{10}^{3x-2}$}
∴x+3x-2=10，
即x=3，
∴B={x|x=3}，
∵C={x|${A}_{9}^{x}$＞${C}_{4}^{2}$${A}_{9}^{x-2}$}，
∴$\frac{9！}{（9-x）！}＞6\frac{9！}{（9-x+2）！}$，且x≤9且，x-2≥0，
∴C={x|8＜x≤9}，
∵全集U=A∪B∪C，
∴U={3，6，7，8，9}，
（1）从U中每次取出2奇2偶四个数，有${C}_{3}^{2}{C}_{2}^{2}$=3种，先排个位数字，有${A}_{2}^{1}$，其他任意排，故有${C}_{3}^{2}{C}_{2}^{2}$•${A}_{2}^{1}$$•{A}_{3}^{3}$=36种；
（2）被5除余2的个位数字为7，其它三位任意排列，故有${A}_{4}^{3}$=24种．

点评 本题考查了排列数和组合数公式，以及分步计数原理，属于中档题．