Question

6．已知函数f（x）=e^x-ax²
（1）求函数f（x）在点P（0，1）处的切线方程；
（2）当a＞0时，若函数f（x）为R上的单调递增函数，试求a的范围；
（3）当a≤0时，证明函数f（x）不出现在直线y=x+1的下方．

Answer 1

分析 （1）求出函数的导数，切线斜率，切点坐标，然后求解f（x）在点P（0，1）处的切线方程．
（2）由题意推出f′（x）=e^x-2ax≥0恒成立，通过构造函数，求出新函数的最值，即可求解0＜a≤$\frac{e}{2}$（3）记F（x）=e^x-ax²-x-1，a≤0，利用函数的导数，判断函数的单调性，求解最值即可证明函数f（x）不出现在直线y=x+1的下方．

解答 解：（1）∵f′（x）=e^x-2ax，∴f′（0）=1
所以f（x）在点P（0，1）处的切线方程为y-f（0）=f′（0）（x-0），即y=x+1．…（4分）
（2）由题意f′（x）=e^x-2ax≥0恒成立
x＞0时2a≤$\frac{{e}^{x}}{x}$，令g（x）=$\frac{{e}^{x}}{x}$，则g′（x）=$\frac{{e}^{x}（x-1）}{{x}^{2}}$，
由g′（x）=0得x=1，x＞1时g′（x）＞0，x＜1时g′（x）＜0．
∴g（x）_min=g（1）=e，∴a≤$\frac{e}{2}$；
x＜0时2a≥$\frac{{e}^{x}}{x}$，∵$\frac{{e}^{x}}{x}$＜0，2a≥0 恒成立；
综上，若函数f（x）为R上的单调递增函数，则0＜a≤$\frac{e}{2}$   …（8分）
（3）记F（x）=e^x-ax²-x-1，a≤0
则F′（x）=e^x-2ax-1，
F′′（x）=e^x-2a＞0，∴F′（x）单调递增，又F′（0）=0
∴F（x）在（-∞，0）单调递减，在（0，+∞）单调递增
∴F（x）≥F（0）=0，即函数f（x）不出现在直线y=x+1的下方．  …（12分）

点评 本题考查函数的导数的综合应用，转化思想以及计算能力，注意二次求导的应用．