Question

17．在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是矩形，平面PAD⊥平面ABCD，PD⊥PB，PA=PD．
（Ⅰ）求证：PD⊥平面PAB；
（Ⅱ）设E是棱AB的中点，∠PEC=90°，AB=2，求四棱锥P-ABCD的体积．

Answer 1

分析 （Ⅰ）由线面垂直的性质得AB⊥AD，结合已知利用线面垂直的判定得PD⊥平面PAB；
（Ⅱ）取AD中点F，由PA=PD可得PF⊥AD，进一步得到PF⊥CE，结合PE⊥CE得到CE⊥平面PFE，即CE⊥FE，然后设BC=a，通过解直角三角形求得a，然后求出PF，代入棱锥体积公式得答案．

解答 （Ⅰ）证明：如图，
∵平面PAD⊥平面ABCD，平面PAD∩平面ABCD=AD，
且底面ABCD是矩形，即AB⊥AD，∴AB⊥平面PAD，
∴AB⊥PD，又PD⊥PB，AB∩PB=B，
∴PD⊥平面PAB；
（Ⅱ）解：取AD中点F，∵PA=PD，∴PF⊥AD，
又平面PAD⊥平面ABCD，∴PF⊥平面ABCD，
∴PF⊥CE，又∠PEC=90°，即PE⊥CE，PE∩PF=P，
∴CE⊥平面PFE，则CE⊥FE，设BC=a，
在Rt△CEF中，由FE²+CE²=CF²，得
${a}^{2}+1+\frac{{a}^{2}}{4}+1=\frac{{a}^{2}}{4}+4$，∴a=$\sqrt{2}$．
由PD⊥平面PAB，得PA⊥PD，∴PF=$\frac{\sqrt{2}}{2}$，
${S}_{ABCD}=2×\sqrt{2}=2\sqrt{2}$，
∴${V}_{P-ABCD}=\frac{1}{3}×2\sqrt{2}×\frac{\sqrt{2}}{2}=\frac{2}{3}$．

点评 本小题主要考查空间线面关系、几何体的体积等知识，考查数形结合、化归与转化的数学思想方法，以及空间想象能力、推理论证能力和运算求解能力，是中档题．