Question

12．已知一个数列{a_n}的各项是1或3，首项是1，且在第k个1和第k+1个1之间有2k-1个3，即1，3，1，3，3，3，1，3，3，3，3，3，1，…，记数列的前n项的和为S_n．
（1）试问第12个1为该数列的第几项？
（2）若S_m=2000，试求m的值；
（3）设有定理：若数列{a_n}、{b_n}、{c_n}满足a_n≤b_n≤c_n（n∈N^*），且$\underset{lim}{n→∞}$a_n=$\underset{lim}{n→∞}$c_n=A，则$\underset{lim}{n→∞}$b_n=A，由上述定理判断$\underset{lim}{n→∞}$$\frac{{S}_{n}}{n}$是否存在？如果存在，求出该极限的值；如果不存在，请说明理由．

Answer 1

分析 （1）将第k个1与第k+1个1前的3记为第k对，得到前k对共有项数为2+4+…+2k=k（k+1）．由此能求出第12个1为该数列的第几项；
（2）由前k对所在全部项的和为S_k（k+1）=k+3[k（k+1）-k]=3k²+k，能推导出S₆₅₁=1901且自第656项到第702项均为3，而2000-1901=99能被3整除，由此得到存在m=651+33=684，使S₆₈₄=2000；
（3）利用$\underset{lim}{n→∞}$$\frac{{S}_{（k-1）k}}{（k-1）k}$=$\underset{lim}{n→∞}$（3+$\frac{6}{k-1}$）=3，$\underset{lim}{n→∞}$$\frac{{S}_{k（k+1）}}{k（k+1）}$=$\underset{lim}{n→∞}$（3+$\frac{6}{k}$）=3及定义即可．

解答 解：（1）将第k个1与第k+1个1前的3记为第k对，
即（1，2）为第1对，共1+1=2项；
（1，2，2，2）为第2对，共1+3=4项；
…
故前k对共有项数为2+4+…+2k=k（k+1）．
第12个1所在的项之前共有11对，
所以12个1为该数列的11×（11+1）+1=123（项）；
（2）∵前k对所在全部项的和为S_k（k+1）=k+3[k（k+1）-k]=3k²+k，
∴S_25×26=S₆₅₀=3×25²+25=1900，
S_26×27=S₇₀₂=3×26²+26=2054，
即S₆₅₁=1901且自第656项到第702项均为3，而2000-1901=99能被3整除，
故存在m=651+33=684，使S₆₈₄=2000；
（3）结论：$\underset{lim}{n→∞}$$\frac{{S}_{n}}{n}$=3；
理由如下：对任意的n∈N^*，总是存在k∈N^*，使得（k-1）k＜n＜k（k+1），
且有$\frac{{S}_{（k-1）k}}{（k-1）k}$≤$\frac{{S}_{n}}{n}$≤$\frac{{S}_{k（k+1）}}{k（k+1）}$，
又S_k（k+1）=3k²+k，所以$\underset{lim}{n→∞}$$\frac{{S}_{（k-1）k}}{（k-1）k}$=$\underset{lim}{n→∞}$$\frac{3k（k+1）}{（k-1）k}$=$\underset{lim}{n→∞}$（3+$\frac{6}{k-1}$）=3，
同理$\underset{lim}{n→∞}$$\frac{{S}_{k（k+1）}}{k（k+1）}$=$\underset{lim}{n→∞}$（3+$\frac{6}{k}$）=3，
所以$\underset{lim}{n→∞}$$\frac{{S}_{n}}{n}$=3．

点评 本题考查数列知识的综合运用，具有一定的探索性，对数学思维的要求较高，解题时要认真审题，注意等价转化思想的合理运用．