Question

7．已知x，y满足$\left\{\begin{array}{l}{y≥x}\\{x+y≤2}\\{x≥a}\end{array}\right.$，且目标函数z=2x+y的最大值为M，最小值为m，若M=4m，则实数a的值为$\frac{1}{4}$．

Answer 1

分析 由约束条件作出可行域，化目标函数为直线方程的斜截式，数形结合得到最优解，联立方程组求出最优解的坐标代入目标函数求出最大值和最小值，代入M=4m求得实数a的值．

解答 解：由约束条件$\left\{\begin{array}{l}{y≥x}\\{x+y≤2}\\{x≥a}\end{array}\right.$作出可行域如图，

联立$\left\{\begin{array}{l}{x=a}\\{x=y}\end{array}\right.$，解得：A（a，a），
联立$\left\{\begin{array}{l}{y=x}\\{x+y=2}\end{array}\right.$，解得：B（1，1），
化目标函数为直线方程斜截式y=-2x+z，
由图可知，当直线过A（a，a）时，直线在y轴上的截距最小，z有最小值为m=3a，
当直线过B（1，1）时，直线在y轴上的截距最大，z有最大值为M=3，
由M=4m，得3=12a，即a=$\frac{1}{4}$．
故答案为：$\frac{1}{4}$．

点评 本题考查了简单的线性规划，考查了数形结合的解题思想方法，是中档题．