Question

17．已知动圆M经过定点A（2，0），且在y轴上截得的弦长为4
（Ⅰ）求动圆圆心M的轨迹C的方程
（Ⅱ）设N（x₀，0）是x轴上的定点，BD是经过N点的轨迹C的任意一条弦，若∠BAD恒为钝角，求x₀的取值范围．

Answer 1

分析 （Ⅰ）设动圆圆心M（x，y），通过点M到y轴的距离，圆M在y轴上截得的弦长为4，可得轨迹C的方程：y²=4x；
（Ⅱ）设经过点N的抛物线y²=4x的任意一条弦为BD的方程为x=my+x₀，并将两者联立得y²-4my-4x₀=0，设B（x₁，y₁），D（x₂，y₂），则有y₁+y₂=4m，y₁y₂=-4x₀，计算得$\overrightarrow{AB}$•$\overrightarrow{AD}$=$-8{m}^{2}+{{x}_{0}}^{2}-8{x}_{0}+4$＜0在R上恒成立，又当x₀=2时，∠BAD=180°不合题意，从而$4-2\sqrt{3}＜{x}_{0}＜4+2\sqrt{3}$，且x₀≠2．

解答 解：（Ⅰ）设动圆圆心M（x，y），则点M到y轴的距离为d=|x|，圆M的半径r=$\sqrt{（x-2）^{2}+{y}^{2}}$，
∵圆M在y轴上截得的弦长为4，得$\sqrt{{r}^{2}-{d}^{2}}=2$，
即$\sqrt{（x-2）^{2}+{y}^{2}-{x}^{2}}=2$，化简得轨迹C的方程为：y²=4x；
（Ⅱ）设经过点N的抛物线y²=4x的任意一条弦为BD的方程为x=my+x₀，
由$\left\{\begin{array}{l}{x=my+{x}_{0}}\\{{y}^{2}=4x}\end{array}\right.$ 消去x得y²-4my-4x₀=0，
设B（x₁，y₁），D（x₂，y₂），则y₁+y₂=4m，y₁y₂=-4x₀，
$\overrightarrow{AB}$=（x₁-2，y₁），$\overrightarrow{AD}$=（x₂-2，y₂），
$\overrightarrow{AB}$•$\overrightarrow{AD}$=（x₁-2，y₁）•（x₂-2，y₂）=（x₁-2）（x₂-2）+y₁y₂
=（my₁+x₀-2）（my₂+x₀-2）+y₁y₂
=（m²+1）y₁y₂+m（x₀-2）（y₁+y₂）+$（{x}_{0}-2）^{2}$
=$（{m}^{2}+1）（-4{x}_{0}）+m（{x}_{0}-2）•4m+（{x}_{0}-2）^{2}$
=$-8{m}^{2}+{{x}_{0}}^{2}-8{x}_{0}+4$，
因为∠BAD恒为钝角，所以对于任意的m∈R都有$\overrightarrow{AB}•\overrightarrow{AD}＜0$，
即$-8{m}^{2}+{{x}_{0}}^{2}-8{x}_{0}+4$＜0在R上恒成立，
所以${{x}_{0}}^{2}-8{x}_{0}+4$＜0，解得$4-2\sqrt{3}＜{x}_{0}＜4+2\sqrt{3}$，
又因为当x₀=2时，∠BAD=180°不合题意，
因此x₀的取值范围为：$4-2\sqrt{3}＜{x}_{0}＜4+2\sqrt{3}$，且x₀≠2．

点评 本题考查抛物线方程和直线的关系，综合性强，是高考的重点．解题时要认真审题，仔细解答，注意挖掘题设中的隐含条件，合理地进行等价转化．