Question

2．数列{a_n}，a₁=1，a₂=1，a_n+2=（1+sin²$\frac{nπ}{2}$）a_n+4cos²$\frac{nπ}{2}$，则a₉的值为16．

Answer 1

分析 a₁=1，a₂=1，a_n+2=（1+sin²$\frac{nπ}{2}$）a_n+4cos²$\frac{nπ}{2}$，计算a₃=2，a₄=5，a₅=2²，…，可得数列{a_2n-1}等比数列，首项为1，公比为2．即可得出．

解答 解：∵a₁=1，a₂=1，a_n+2=（1+sin²$\frac{nπ}{2}$）a_n+4cos²$\frac{nπ}{2}$，
∴a₃=（1+1）a₁+0=2a₁=2，
a₄=（1+0）a₂+4=a₂+4=5，
a₅=（1+1）a₃=2a₃=2²，
…，
可得数列{a_2n-1}等比数列，首项为1，公比为2．
则a₉=2⁴=16．
故答案为：16

点评 本题查克拉等比数列的通项公式、三角函数的周期性，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．