Question

19．在三角形ABC中，a，b，c分别是角A，B，C的对边，S是其面积，若2S=$\sqrt{3}$$\overrightarrow{AB}$•$\overrightarrow{BC}$．
（1）求∠B的大小；
（2）若S=3$\sqrt{3}$，三角形周长为6+4$\sqrt{3}$，求三角形各边的长．

Answer 1

分析 （1）运用三角形面积公式和向量的数量积的定义，结合同角的商数关系，由特殊角的三角函数值，即可得到B；
（2）由三角形的面积公式和余弦定理，结合条件，解方程，即可得到a，b，c．

解答 解：（1）若2S=$\sqrt{3}$$\overrightarrow{AB}$•$\overrightarrow{BC}$，
则acsinB=-$\sqrt{3}$cacosB，
即sinB=-$\sqrt{3}$cosB，
即有tanB=-$\sqrt{3}$，
由0＜B＜π，可得B=$\frac{2π}{3}$；
（2）若S=3$\sqrt{3}$，三角形周长为6+4$\sqrt{3}$，
则$\frac{1}{2}$acsinB=3$\sqrt{3}$，即ac=12，①
a+b+c=6+4$\sqrt{3}$，②
b²=c²+a²-2accosB=c²+a²+ac，③
由①②③，可得
a=c=2$\sqrt{3}$，b=6．

点评 本题考查向量的数量积的定义和三角形的面积公式和余弦定理的运用，考查同角的基本关系式和解方程的运算能力，属于中档题．