Question

2．已知数列{a_n}满足（a_n+1-1）（a_n-1）=3（a_n-a_n+1），a₁=2，令${b_n}=\frac{1}{{{a_n}-1}}$．
（Ⅰ）证明：数列{b_n}是等差数列；
（Ⅱ）求数列{a_n}的通项公式．

Answer 1

分析 （Ⅰ）利用已知条件推出$\frac{1}{{{a_{n+1}}-1}}-\frac{1}{{{a_n}-1}}=\frac{1}{3}$，即可证明{b_n}是等差数列．
（Ⅱ）求出b_n，然后求解数列{a_n}的通项公式．

解答 解：（Ⅰ）（a_n+1-1）（a_n-1）=3[（a_n-1）-（a_n+1-1）]，两边同除：（a_n+1-1）（a_n-1），
∴$\frac{1}{{{a_{n+1}}-1}}-\frac{1}{{{a_n}-1}}=\frac{1}{3}$，即${b_{n+1}}-{b_n}=\frac{1}{3}$，
∴{b_n}是等差数列．…（6分）
（Ⅱ）∵b₁=1，∴${b_n}=\frac{1}{3}n+\frac{2}{3}$，…（10分）
${a_n}-1=\frac{3}{n+2}$，∴${a_n}=\frac{n+5}{n+2}$．…（12分）

点评 本题考查等差数列通项公式的求法，等比数列通项公式的求法，数列递推关系式的应用，考查计算能力．